Szczepan Wesoły urodził się 16 października 1926 r. w Katowicach. 15 września 1951 r. wstąpił do Papieskiego Kolegium Polskiego w Rzymie, jednocześnie kształcił się na Papieskim Uniwersytecie Gregoriańskim, gdzie w 1957 r. uzyskał licencjat z teologii. Święcenia kapłańskie przyjął 28 października 1956 r. Na życzenia abp. Józefa Gawliny pozostał w Rzymie, gdzie pracował nad wydawnictwami jubileuszowymi z okazji Millenium Chrztu Polski. W latach 1958-1962 sprawował funkcję duszpasterza emigrantów polskich przebywających we Włoszech. Od grudnia 1959 r. kontynuował naukę w Papieskim Instytucie Pastoralnym przy Uniwersytecie Laterańskim, a następnie w Akademii Alfonsjańskiej i dominikańskim Uniwersytecie Pro Deo. W latach 1962-1965 kierował Sekcją Słowiańską Biuro Prasowego Sekretariatu Soboru Watykańskiego II. W 1967 r. otrzymał doktorat z teologii na Uniwersytecie Laterańskim, w tym samym czasie objął kierownictwo Centralnego Ośrodka Duszpasterstwa Emigracyjnego w Rzymie. 11 grudnia 1968 r. w prywatnej kaplicy prymasa Stefana Wyszyńskiego otrzymał sakrę biskupią. Został biskupem tytularnym Dragona i sufraganem gnieźnieńskim. Do jego zadań należało wspomaganie w pracy ks. bp. Władysława Rubina, delegata prymasa Polski dla duszpasterstwa emigracyjnego. Sam bp Wesoły objął funkcję delegata w 1980 r. W latach 1980-2007 był rektorem kościoła św. Stanisława Biskupa i Męczennika w Rzymie. 7 lutego 1994 r. został uhonorowany godnością arcybiskupa ad personam.

Ks. bp Szczepan Wesoły był członkiem Papieskiej Rady ds. Duszpasterstwa Migrantów i Podróżnych, Komisji Maryjnej Episkopatu Polski, Komisji Episkopatu Polski ds. Środków Społecznego Przekazu, sekretarzem Komisji Episkopatu Polski ds. Duszpasterstwa Emigracyjnego oraz przewodniczącym Rady Administracyjnej Fundacji Jana Pawła II w Rzymie.

Za swoją działaność odznaczony m.in. Orderem Orła Białego (2018), Fidelis Poloniae (2003), Złotym Laurem Polonii (2006).

Zmarł 28 sierpnia 2018 r. w Rzymie.